9月 05 2022

title: 概率论与数理统计笔记
date: 2022-09-05 09:00:00
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概率论与数理统计

概率论与数理统计

南京大学计算机科学与技术系2022秋课程概率论与数理统计个人笔记

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课程名：

概率论与数理统计

英文名：

Probability and Mathematical Statistics

建议教材：

《概率论与数理统计》，傅冬生等编，科学出版社，2014.

教学周历：

周次	教学内容	教师	授课方式	备注
1	第一章.随机事件与概率 §1.随机事件及其运算 §2.事件的概率与性质 §3.古典概率	傅冬生	课堂教学	2022年9月5日
2	第一章.随机事件与概率 §4.几何概率 §5.条件概率 §6.独立性	傅冬生	课堂教学	2022年9月19日
3	第一章.随机事件与概率 §7.独立重复试验第二章随机变量及其概率分布 §1 随机变量及其分布函数	傅冬生	课堂教学
4	第二章随机变量及其概率分布 §2 离散型随机变量及其分布函数 §3 连续型随机变量及其分布	傅冬生	课堂教学
5	第二章随机变量及其概率分布 §4 随机变量函数的分布第三章随机向量及其概率分布 §1 二维随机向量及其分布函数	傅冬生	课堂教学
6	第三章随机向量及其概率分布 §2 二维离散型随机向量 §3 二维连续型随机向量	傅冬生	课堂教学
7	第三章随机向量及其概率分布 §3 二维连续型随机向量 §4 二维随机向量函数的分布	傅冬生	课堂教学
8	第四章随机变量的数字特征 §1 数学期望 §2 方差与矩	傅冬生	课堂教学
9	第四章随机变量的数字特征 §2 方差与矩 §3 协方差与相关系数	傅冬生	课堂教学
10	第五章极限理论 §1 大数定律 §2 中心极限定理	傅冬生	课堂教学
11	第六章统计基础 §1 总体与样本 §2 统计量与抽样分布	傅冬生	课堂教学
12	第六章统计基础 §3正态总体的抽样分布第七章参数估计 §1 矩估计	傅冬生	课堂教学
13	第七章参数估计 §2 极大似然估计 §3 估计量的评价标准	傅冬生	课堂教学
14	第七章参数估计 §4 区间估计第八章假设检验 §1 假设检验的基本概念	傅冬生	课堂教学
15	第八章假设检验 §2 正态总体均值的假设检验 §3 正态总体方差的假设检验	傅冬生	课堂教学
16	第八章假设检验 §3 正态总体方差的假设检验 §4 分布拟合检验	傅冬生	课堂教学

绪论

1. 随机事件及其运算

一. 随机试验样本空间随机事件

1.随机试验

日常生活和社会实践中的两类现象:确定性现象和随机现象。
具有不确定性(或偶然性)的现象称为随机现象。
把对某种随机现象的一次观测或测量称为一个试验。

2. 样本空间(sample space)

将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间，
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点(或基本事件)

3.随机事件(random occurrence)

基本事件: 一个样本点组成的单点集，不可再分.
随机事件: 称试验E的样本空间L的子集为E的随机事件，记作A,B, C等等;
eg: 事件A:出现偶数点，A={2, 4, 6}

随机事件发生:该事件所包含的一一个样本点在试验中出现。

两个特殊的事件:

必然事件:样本空间本身;
不可能事件:空集

二、事件间的关系与运算

I. 关系

1) 包含关系B>A

如果A发生必导致B发生，

2) 互斥关系

n个事件互斥

3）相等关系

II. 运算

并/交/差/对立

2. 事件的概率及性质

一. 频率的定义和性质

定义:在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数na,称为事件A发生的频数。比值na/n称为事件A发生的频率，并记成f,(A) 。

频率的稳定性
在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.

公理化的def：

3.等可能概率(古典概型)

有限等可能

1）样本空间有限

2）每个等可能

6.独立性

6.1 性质

1）定义$A,B$满足$P(AB)=P(A)P(B)$，称事件$AB$相互独立

理解$P(B|A) = P(B)$

2）概率为0|1 于任意事件

3) 定理：以下情形等价 对称性

$AB$相互独立
$\overline{A}B$相互独立
$A\overline{B}$相互独立
$\overline{A}\overline{B}$相互独立

4）分组独立性

将上述$n$个事件划分成没有公共事件的$k$组，每组中的事件做任意事件运算，得到的$k$个新事件仍相互独立

*相互独立！=互不相容

证明见笔记

6.2 多个事件独立

6.21 数量

即任意的$2,3,…,n$个事件拿出来都满足上述等式（共有$C_n^2+C_n^3+…+C_n^n=2^n-n-1个等式$）

6.22 相互独立事件至少发生一个

加法公式简化：$A_i$相互独立，则$P(A_1\bigcup A_2\bigcup…\bigcup A_n)=1-P(\overline{ {A_1}\bigcup{A_2}\bigcup…\bigcup{A_n} })= 1-P({\overline{A_1}\bigcap\overline{A_2}\bigcap…\bigcap\overline{A_} }})=1-P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})…P(\overline{A_n})$